एकाधिक प्रभावों के साथ न्यूटन की क्रैडल: सिमुलेशन और प्रयोग

मूल स्रोत: http://robotics.cs.iastate.edu/ResearchNewtonsCradle.shtml

इस विषय में, हम आवेग स्थान में एक राज्य संक्रमण आरेख के रूप में कई निकायों के साथ टकराव का मॉडल बनाते हैं। प्रत्येक राज्य टकराव के लिए एक अलग टोपोलॉजी का वर्णन करता है, जो तात्कालिक सक्रिय संपर्कों की मात्रा की विशेषता है। एक राज्य के भीतर, (सामान्य) दालों को आंशिक रूप से युग्मित किया जाता है जो सक्रिय संपर्क बिंदुओं पर सापेक्ष कठोरता के अधीन होता है और वोल्टेज ऊर्जा वहां संग्रहीत होती है। इस तरह के युग्मन एक झटके के दौरान वसूली से संपीड़न के पुनरारंभ का कारण बन सकते हैं। दालों को पहले क्रम की निरंतरता के साथ एक परिभाषित वक्र के साथ विकसित किया जाता है और राज्य संक्रमण के दौरान अभिसरण किया जाता है।

सम्मिलित राज्य संक्रमण आरेख एक बहु-शरीर टकराव को एक राज्य अनुक्रम में विभाजित करता है, प्रत्येक एक विशेष संपर्को का प्रतिनिधित्व करता है जो टकराव के दौरान तुरंत सक्रिय होते हैं। 2^n तक की स्थिति हो सकती है, जिनमें से कई टक्कर में नहीं हो सकती हैं। हम शुरुआती मोड से शुरू होकर, जहां सभी संपर्क सक्रिय हैं, चलते-चलते संक्रमण चार्ट तैयार करते हैं। एक संक्रमण या तो एक नई स्थिति (उत्पन्न होने के लिए) या पहले से ही उत्पन्न स्थिति की ओर जाता है। एक राज्य से दूसरे में संक्रमण तब होता है जब या तो टकराव की वसूली समाप्त हो जाती है या एक निष्क्रिय संपर्क को फिर से सक्रिय किया जाता है क्योंकि दो ऑब्जेक्ट शामिल होते हैं फिर से एक दूसरे से संपर्क करते हैं। प्रत्येक स्विच एक ऊर्जा वसूली गुणांक के साथ जुड़ा हुआ है जो संपीड़न के दौरान स्विच में संग्रहीत लोड ऊर्जा के एक निश्चित हिस्से की वापसी का संकेत देता है। इस संपर्क का प्रभाव दूसरे संपर्क के प्रभाव से संबंधित है, जो उनके सापेक्ष कठोरता और उनके संग्रहीत लोड ऊर्जाओं के अनुपात से निर्धारित होता है। चूंकि प्रत्येक प्रभाव दूसरे प्रभाव से प्रभावित हो सकता है, यह संपीड़न और वसूली के कई दौर से गुजर सकता है। सक्रिय संपर्क के बिना अंत स्थिति जैसे ही संक्रमण चार्ट बंद हो जाता है।

न्यूटन के क्रैडल का अनुकरण

न्यूटन के क्रैडल के साथ समस्या कई स्ट्रोक के संबंध में अच्छी तरह से जानी जाती है। सिस्टम को कई स्ट्रोक के लिए बेंचमार्क के रूप में अध्ययन किया गया है। एक विशिष्ट न्यूटोनियन क्रैडल में एक ही आकार की गेंदों की एक श्रृंखला होती है जो एक धातु के फ्रेम में निलंबित होती हैं ताकि आराम से वे बस एक दूसरे को छू सकें। प्रत्येक गेंद फ्रेम से दो समान लंबाई के तारों से जुड़ी होती है जो एक दूसरे से दूर होती हैं। यह पेंडुलम के आंदोलनों को एक ही विमान तक सीमित करता है।

चूंकि नाड़ी और प्राथमिक नाड़ी के ऊर्जा व्युत्पन्न के लिए सामान्य अंतर समीकरणों के समाधान का कोई बंद रूप नहीं है, राज्य का विकास संख्यात्मक एकीकरण के माध्यम से सिम्युलेटेड है। प्रत्येक एकीकरण कदम पर, यह जाँच की जाती है कि क्या दालों में से एक का संपीड़न पूरा हो गया है, जिस स्थिति में ऊर्जा हानि को पहचानने के लिए तदनुसार लोड ऊर्जा को बढ़ाया जाता है। और राज्य का संक्रमण तब होता है जब संपर्क सेट में एक गेंद की लोड ऊर्जा पुनर्प्राप्ति के दौरान शून्य हो जाती है। एकीकरण की शुरूआत निम्नलिखित तरीके से होती है। प्रारंभिक ऊर्जाओं को नाड़ी के व्युत्पन्न के रूप में अनुमानित किया जाता है, और फिर उन्हें द्विघात प्रणाली के माध्यम से अंतर संबंधों के आधार पर वर्णित किया जाता है, जो होमोटॉपिक निरंतरता विधि द्वारा हल किया जाता है।

सिमुलेशन में, ऊपर के रूप में सेट किए गए पांच क्षेत्रों के साथ एक श्रृंखला की जांच की जाएगी जो हमने पेश किए हैं मल्टी-स्ट्रोक मॉडल के आधार पर। श्रृंखला की सभी गेंदें समान हैं। गेंदों के बीच के संपर्क को बिंदु संपर्क के रूप में माना जाता है और हर्ट्ज संपर्क के रूप में मॉडलिंग की जाती है, जहां बल को F = k * x^(1.5) के रूप में दर्शाया जाता है, जहां k वसंत की कठोरता है और x लंबाई में परिवर्तन है। आभासी वसंत की।

हम न्यूटन के क्रैडल के लिए पांच परिदृश्यों का अनुकरण करते हैं (जैसा कि निम्नलिखित वीडियो में दिखाया गया है): (1) दाईं ओर से एक गेंद हिट; (2) दाईं ओर से दो गेंदें टकराईं; (3) दाईं ओर से तीन गेंदें टकराईं; (4) दाईं ओर से चार गेंदें टकराईं; और (5) दोनों तरफ से एक-एक गेंद। हिट गेंदों के प्रारंभिक कोण 45 डिग्री पर सेट होते हैं। ऊर्जा के फैलाव को यहां ध्यान में रखा गया है, जहां ऊर्जा की वसूली गुणांक 0.96 है। बॉल मूवमेंट क्रमशः 76.7s, 58.8s, 51.7s, 98.8s, और 174.5s पर (पहले चार मामलों के लिए) रुकना शुरू होता है (पांचवें मामले के लिए)।

न्यूटन के क्रैडल का प्रयोग

हमारे एल्गोरिथ्म को प्रयोगात्मक रूप से मान्य करने के लिए, स्ट्रिंग लंबाई l = 0.129 मीटर के साथ एक न्यूटन क्रैडल एक क्षैतिज मेज पर रखा गया था। क्रैडल में पाँच समान गोले एक त्रिज्या r = 0.011 मीटर है। दो गोले के बीच की रिकवरी गुणांक e = 0.95 है, और उनके बीच कठोरता समान है। दूर की गेंद को शुरू में ऊपर उठाया गया था और 5π/36 के दोलन कोण के साथ स्थिर रखा गया था जैसा कि नीचे दाईं ओर की आकृति में दिखाया गया है। रिलीज़ होने पर, एक वीडियो रिकॉर्ड किया गया और उनके आंदोलन के दौरान पाँच गेंदों के कंट्रोल्स को ट्रैक करने के लिए होग़ सर्किल ट्रांसफॉर्म एल्गोरिथम का उपयोग किया गया।

नीचे दी गई तालिका में पाँच गोले के क्षैतिज वेगों की तुलना के बाद ही उन्हें प्रयोग में पहली टक्कर से और सिमुलेशन में छोड़ा गया था। दिलचस्प है, क्षेत्र 1 बाईं ओर थोड़ा स्थानांतरित हो गया, और क्षेत्र 4 प्रयोग और सिमुलेशन दोनों में एक ध्यान देने योग्य गति से दाईं ओर स्थानांतरित हो गया। इस घटना को केवल आवेग और ऊर्जा के संरक्षण पर आधारित एक सरल मॉडल द्वारा समझाया नहीं जा सकता है।

प्रयोगात्मक और सिमुलेशन परिणाम की तुलना समय अक्ष के साथ की जाती है जब तक कि कोई अधिक वार न हो और सभी गोले एक साथ घूमे। दाईं ओर का आंकड़ा प्रयोग में मनाया क्षेत्र 1 के क्षैतिज वेग के लौकिक प्रक्षेपवक्र की तुलना करता है और सिमुलेशन द्वारा भविष्यवाणी की जाती है। दो प्रक्षेपवक्र बहुत अच्छी तरह से सहमत हैं, सिवाय इसके कि प्रत्येक चक्र के दौरान गेंद का वेग (डालने में दिखाया गया है) प्रयोग की तुलना में सिमुलेशन में थोड़ा अधिक उतार-चढ़ाव करता है। यह मुख्य रूप से प्रयोग में गेंदों के बीच कुछ चिपकने वाला प्रभाव के कारण है, जो कि मॉडलिंग नहीं है।


हम कई प्रभावों के बारे में अधिक जानकारी के लिए निम्न पत्र देखें:

फीफेई वांग, हुआन लिन और यान-बिन जिया। सिमुलेशन और प्रयोग [सार] (868 K) के साथ एन-बॉडी कलिसिएंस के कम्प्यूटेशनल मॉडलिंग इंटेलिजेंट रोबोट्स एंड सिस्टम्स, हैम्बर्ग, जर्मनी, सितम्बर 28 – अक्टूबर 3, 2015 को IEEE / RSJ अंतर्राष्ट्रीय सम्मेलन में प्रस्तुत किया गया।

यान-बिन जिया, मैथ्यू टी। मेसन, और माइकल ए इरडमैन। बिलियर्ड शूटिंग में एक साथ टकराव के लिए एक राज्य संक्रमण आरेख। रोबोटिक्स, गुआनाजुआतो, मेक्सिको, दिसंबर, 2008 के एल्गोरिथम नींव पर आठवें अंतर्राष्ट्रीय कार्यशाला में प्रस्तुत किया गया।

यान-बिन जिया, मैथ्यू टी। मेसन, और माइकल ए इरडमैन। एकाधिक प्रभाव: एक राज्य संक्रमण आरेख दृष्टिकोण। (672K, 63 पृष्ठ)। इंटरनेशनल जर्नल ऑफ़ रोबोटिक्स रिसर्च, वॉल्यूम 32, नंबर 1, पीपी 84-114, 2013।

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