મૂળ સ્રોત: https://www.math.tamu.edu/~sottile/research/stories/MSRI04/index.html
દ્વારા લખાયેલ: ફ્રેન્ક સોટીટાઇલ
દરેક જણ જાણે છે કે બે બિંદુઓ એક રેખા નક્કી કરે છે, અને ભૂમિતિનો અભ્યાસ કરનારા ઘણા લોકો જાણે છે કે વિમાનમાંના પાંચ પોઇન્ટ શંકુને નક્કી કરે છે. સામાન્ય રીતે, જો તમારી પાસે વિમાનમાં m રેન્ડમ પોઇન્ટ છે અને તમે તે બધા દ્વારા ડી ડીનો તર્કસંગત વળાંક પસાર કરવા માંગો છો, તો આ આંતરપ્રુલેશન સમસ્યાનું કોઈ સમાધાન થઈ શકશે નહીં (જો એમ ખૂબ મોટું છે), અથવા અસંખ્ય સંખ્યા ઉકેલો (જો m ખૂબ નાનો છે) અથવા મર્યાદિત સંખ્યામાં સોલ્યુશન્સ (જો m માત્ર યોગ્ય છે). તે તારણ આપે છે કે “ m હમણાં જ યોગ્ય છે ” એટલે કે m=3d-1 (લીટીઓ માટે m = 2 અને કોનિક્સ માટે m = 5).
સખત સવાલ એ છે કે, જો m=3d-1, ડિગ્રી d કેટલા બુદ્ધિગમ્ય વળાંક બિંદુઓને ઇન્ટરપોલેશન કરે છે? ચાલો આ નંબરને Nd કહીએ, જેથી N1=1 અને N2=1 કારણ કે પહેલાના ફકરાની લાઇન અને શંકુ અનન્ય છે. તે લાંબા સમયથી જાણીતું છે કે N3=12, અને 1873 માં ઝ્યુથન [ઝે] એ બતાવ્યું કે N4=620. આ તે જ સ્થિતી હતી જ્યાં લગભગ દસ વર્ષ પહેલાં બાબતો હતી, જ્યારે કોન્ટસેવિચ અને મનીન [કેએમ] આ નંબર માટે એક ભવ્ય પુનરાવર્તન આપવા ક્વોન્ટમ કોહોમોલોજીમાં સાહસિકતાનો ઉપયોગ કરતા હતા.
રિયલ બીજગણિત ભૂમિતિના ટોપોલોજિકલ પાસાઓ પરના એમએસઆરઆઈ વિન્ટર 2004 ના સેમેસ્ટરના સંશોધન થીમ્સમાં ગણનાત્મક વાસ્તવિક બીજગણિત ભૂમિતિ, ઉષ્ણકટીબંધીય ભૂમિતિ, વાસ્તવિક વિમાન વળાંક અને વાસ્તવિક બીજગણિત ભૂમિતિના કાર્યક્રમો શામેલ છે. આ આંતરભાષીય સમસ્યાની પ્રગટ થતી વાર્તામાં બધા એકસાથે વણાયેલા છે, ગણતરીની ભૂમિતિની એક આદર્શ સમસ્યા છે, જે આપેલ ઘટનાઓની પરિસ્થિતિ દ્વારા નિર્ધારિત ભૌમિતિક આકૃતિઓની ગણતરી કરવાની કળા છે. અહીં બીજી સમસ્યા છે: અવકાશમાં કેટલી રેખાઓ ચાર આપેલ રેખાઓને પૂર્ણ કરે છે? આનો જવાબ આપવા માટે, નોંધ લો કે ત્રણ લીટીઓ એક અનોખા દ્વિ-શાસનવાળા હાઇપરબોલolઇડ પર સ્થિત છે.
ત્રણ લીટીઓ એક ચુકાદામાં રહેલી છે, અને બીજા ચુકાદામાં આપેલ ત્રણ લાઇનોને મળતી રેખાઓનો સમાવેશ છે. હાયપરબોલોઇડ એ ચતુર્ભુજ સમીકરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યું હોવાથી, ચોથી લાઇન તેને બે મુદ્દામાં પૂર્ણ કરશે. આ બંને બિંદુઓમાંથી, બીજા ચુકાદામાં એક લાઇન હોય છે, અને આ આપેલ ચાર લીટીઓને મળતી બે લાઇનો છે.
ગણતરીત્મક ભૂમિતિ જટિલ સંખ્યાઓ પર શ્રેષ્ઠ કાર્ય કરે છે, કારણ કે વાસ્તવિક આંકડાઓની સંખ્યા ઘટનાની પરિસ્થિતિઓને આપતી આકૃતિઓના ગોઠવણી પર સૂક્ષ્મ રીતે આધાર રાખે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચોથી લાઇન એ બે વાસ્તવિક બિંદુઓમાં, અથવા બે જટિલ જોડાણ બિંદુઓમાં, હાયપરબોલોઇડને પૂરી કરી શકે છે, અને તેથી ત્યાં ચારેય મળીને બે અથવા કોઈ વાસ્તવિક લાઇન નથી. ઘણાં ઉદાહરણોનાં આધારે, આપણે અપેક્ષા રાખીએ છીએ કે કોઈપણ ગણનાત્મક સમસ્યામાં તેના તમામ ઉકેલો વાસ્તવિક હોઈ શકે છે [તેથી].
આવી બીજી સમસ્યા એ વિમાનમાં 8 મુદ્દાઓને લગતું 12 તર્કસંગત વળાંક છે. મોટાભાગના ગણિતશાસ્ત્રીઓ નીચે ડાબી બાજુએ બતાવેલ નોડલ (તર્કસંગત) ક્યુબિકથી પરિચિત છે. ત્યાં એક અન્ય પ્રકારનો વાસ્તવિક તર્કસંગત ઘન છે, જે જમણી બાજુએ બતાવેલ છે.
બીજા વળાંકમાં, બે જટિલ સંયુક્ત શાખાઓ એકલા સ્થાન પર મળે છે. જો આપણે આપેલ 8 પોઇન્ટને ટાઇપ ટી ઇન્ટરપોલેટીંગના વાસ્તવિક વળાંકની સંખ્યા એન (ટી) કરીએ, તો ખારલામોવ અને દેગત્યેરેવ [ડીકે] એ બતાવ્યું કે
અહીં તેમની પ્રારંભિક ટોપોલોજીકલ પદ્ધતિઓનું વર્ણન છે. 
આવા ઓછામાં ઓછા 12 વળાંક હોવાથી,
\ લીક 12, અને તેથી પ્લેનમાં 8, 10, અથવા 12 વાસ્તવિક તર્કસંગત ઘન છે, જે સંખ્યા (0, 1, અથવા 2) એક અલગ બિંદુ સાથે ઘનનું. આમ નીચેના બે ક્યુબિકના આંતરછેદના 9 બિંદુઓમાંથી કોઈપણ 8 ઇન્ટરપોલેટિંગ કરીને 12 વાસ્તવિક તર્કસંગત ઘન હશે.
વેલ્શચિન્જર [ડબલ્યુ], જે ગયા શિયાળામાં એમએસઆરઆઈના પોસ્ટડોક હતા, તેમણે આ ઉદાહરણ સિદ્ધાંતમાં વિકસાવ્યું. સામાન્ય રીતે, વાસ્તવિક તર્કસંગત વિમાન વળાંક સીની એકરૂપતા ગાંઠો અથવા અલગ બિંદુઓ છે. નોડ્સની સંખ્યાની સમાનતા એ તેની નિશાની s(C) છે, જે ક્યાં તો 1 અથવા -1 છે. વિમાનમાં 3d-1 વાસ્તવિક બિંદુઓ આપેલ, વેલ્શચિન્જરએ જથ્થાના સંપૂર્ણ મૂલ્યને ધ્યાનમાં લીધું
બધા વાસ્તવિક તર્કસંગત વળાંકનો સરવાળો ડિગ્રી d ની C જે પોઇન્ટને આંતરડા કરે છે. તેણે બતાવ્યું કે આ વજનવાળી રકમ પોઇન્ટની પસંદગી પર આધારિત નથી. વેલ્શિંગરના આ આક્રમણકાર માટે Wd લખો. ઉદાહરણ તરીકે, અમે હમણાં જ જોયું કે W3=8.
આ એક પ્રગતિ હતી, કેમ કે Wd (ગણતરી) વાસ્તવિક ગણતરીના વાસ્તવિક બીજગણિતમાં પ્રથમ સાચી બિન-તુચ્છ આક્રમણક હતું. નોંધ લો કે Wd એ વિમાનમાં 3d-1 અસલ બિંદુઓ દ્વારા વાસ્તવિક તર્કસંગત વળાંકની સંખ્યા અને Wd\leq Nd.
મિખાલ્કીન, જે સેમેસ્ટરના આયોજક હતા, ઉષ્ણકટિબંધીય બીજગણિત ભૂમિતિ [એમઆઈ] નો ઉપયોગ કરીને Wd ડીની ગણતરી કરવાની ચાવી પૂરી પાડતા હતા. આ ઉષ્ણકટિબંધીય સેમિરીંગની ભૂમિતિ છે, જ્યાં મહત્તમ અને + વાસ્તવિક સંખ્યા પરની કામગીરી + અને ગુણાકારની સામાન્ય કામગીરીને બદલે છે. ઉષ્ણકટિબંધીય બહુકોષ એ ફોર્મનું એક ભાગરૂપે રેખીય કાર્ય છે
T(x,y) = max(i,j) {x i + y j + ci,j} ,
જ્યાં ગણતરી સામાન્ય અંકગણિત કામગીરી સાથે છે અને મહત્તમ એ T અને ci,j એક્સપોનન્ટ્સના Z2 ના મર્યાદિત ઉપગણ ઉપર લેવામાં આવે છે, ત્યાં જ, T એ ટીનો અસલ સંખ્યા ગુણાંક છે બિંદુઓ (x, y) જ્યાં T (x, y) અલગ નથી. અહીં કેટલાક ઉષ્ણકટીબંધીય વળાંક છે.
ઉષ્ણકટિબંધીય વળાંકની ડિગ્રી એ પશ્ચિમ, દક્ષિણ અથવા ઉત્તર-પૂર્વ દિશામાંથી કોઈપણમાં અનંત તરફ વળતી કિરણોની સંખ્યા છે. ઉષ્ણકટિબંધીય વળાંક બુદ્ધિગમ્ય છે જો તે કોઈ ઝાડનું ટુકડાવાળું-રેખીય નિમજ્જન છે. નોડ્સમાં વેલેન્સ 4 છે.
મિખાલ્કીને બતાવ્યું કે 3d-1 સામાન્ય બિંદુઓને ઇન્ટરપ્લેટિંગ કરતી ડીગ્રી ડીના ઘણા અંતિમ ઉષ્ણકટિબંધીય વળાંક જ છે. જ્યારે આવા વળાંકની સંખ્યા પોઇન્ટની પસંદગી પર આધારીત છે, ત્યારે મિખલકિન દરેક ઉષ્ણકટિબંધીય વળાંકમાં સકારાત્મક ગુણાકાર જોડે છે જેથી ભારિત રકમ ન થાય, અને હકીકતમાં Nd બરાબર છે. તેમણે આ ગુણાકાર અને બાજુની લંબાઈના ત્રિકોણની અંદર જાળીના માર્ગોના સંયોજનને ઉષ્ણકટીબંધીય વળાંકના ગણતરીમાં ઘટાડો કર્યો.
મિખાલ્કીને નકશાને લગતા પત્રવ્યવહારનો ઉપયોગ કર્યો: Log : (C*)2 –> R2 (x,y)|–>(log|x|,log|y|) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત, અને તેની ચોક્કસ `મોટી જટિલ મર્યાદા ‘ (C*)2. પરની જટિલ રચના. આ મોટી જટિલ મર્યાદા અંતર્ગત, (C*)2 માં 3d-1 પોઈન્ટને લગતી ડિગ્રી ડીના તર્કસંગત વળાંક, ‘જટિલ ઉષ્ણકટીબંધીય વળાંક’ ને વિકૃત કરે છે, જેની છબીઓ પોઇન્ટ્સની છબીઓને આંતરડા કરતી સામાન્ય ઉષ્ણકટીબંધીય વળાંક છે. ઉષ્ણકટીબંધીય વળાંક T ની ગુણાકાર એ જટિલ ઉષ્ણકટિબંધીય વળાંકની સંખ્યા છે જે T માટે પ્રોજેક્ટ કરે છે.
વાસ્તવિક વળાંક વિશે શું? આ પત્રવ્યવહાર પછી, મિખાલ્કીને પ્રત્યેક ઉષ્ણકટિબંધીય વળાંક સાથે વાસ્તવિક ગુણાકાર જોડ્યો અને બતાવ્યું કે N આપેલ ઉષ્ણકટિબંધીય વળાંક આપેલ 3d-1 પોઇન્ટ્સને આંતરભાષીય કરે છે, તો વાસ્તવિક વાસ્તવિક ગુણાકાર એન હોય છે, તો ત્યાં 3d-1 વાસ્તવિક બિંદુઓ છે N એનના વાસ્તવિક તર્કસંગત વળાંક દ્વારા વળાંકવાળા છે. ડીગ્રી d. આ વાસ્તવિક ગુણાકાર ફરીથી જાળી પાથની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત થાય છે.
વેલ્શિંગરના આક્રમક વિશે શું? તે જ રીતે, મિખાલકિને દરેક ઉષ્ણકટિબંધીય વળાંક (વેલ્શિંગરની નિશાનીનું ઉષ્ણકટિબંધીય સંસ્કરણ) સાથે સહી કરેલ વજન જોડ્યું અને દર્શાવ્યું કે અનુરૂપ વજન વેલશિંગરના આક્રમણક સમાન છે. પહેલાની જેમ, આ ઉષ્ણકટિબંધીય હસ્તાક્ષર કરેલ વજન જાળી પાથની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત થઈ શકે છે.
એમએસઆરઆઈ ખાતેના સેમેસ્ટર દરમિયાન, ઇટેનબર્ગ, ખારલામોવ અને શુસ્ટિન [આઈકેએસ] એ વેલ્શિંગરના આક્રમણકારીનો અંદાજ લગાવવા માટે મિખાકલિનના પરિણામોનો ઉપયોગ કર્યો હતો. તેઓએ બતાવ્યું કે Wd\geq d!/3, અને તે પણ
આમ ઓછામાં ઓછું લોગરીથોમિક રીતે, વિમાનમાં ડિગ્રી ડી ઇન્ટરપોલેટિંગ 3d-1 ના સૌથી વધુ તર્કસંગત વળાંક વાસ્તવિક છે
નીચલા સીમાની આ ઘટનાના બીજાં બે દાખલા છે, જેમાંથી પ્રથમ વેલ્શિંગરના કાર્યને આગળ ધપાવે છે. માની લો કે d બરાબર છે અને W(s) ને ડિગ્રી કે k(d–k+1) નું વાસ્તવિક બહુમુખી બનવા દો. તે પછી ઇરેમેન્કો અને ગેબ્રીએલોવ [ઇજી] એ બતાવ્યું કે ત્યાં વાસ્તવિક બહુપદી f1(s),…, fk(s) ડિગ્રી d ની એફકે (ઓ) અસ્તિત્વમાં છે જેની ર્રોન્સકી નિર્ધારક W(s) છે. હકીકતમાં, તેઓ સમકક્ષતા સુધી, બહુપદીના k-ટ્યુપલ્સની સંખ્યા પર નીચા બાઉન્ડ સાબિત થયા. એ જ રીતે, જ્યારે એમએસઆરઆઈમાં, સોપ્રોનોવા અને હું [એસએસ] એ પોસેટ્સ સાથે સંકળાયેલ છૂટાછવાયા બહુપદી સિસ્ટમોનો અભ્યાસ કર્યો, જે દર્શાવે છે કે વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા પોઝિટની સાઇન-અસંતુલન દ્વારા બંધાયેલ છે. ગણતરીત્મક સમસ્યાઓની આવી નીચી મર્યાદા, જે વાસ્તવિક ઉકેલોના અસ્તિત્વને સૂચિત કરે છે, તે એપ્લિકેશન માટે મહત્વપૂર્ણ છે.
ઉદાહરણ તરીકે, આ વાર્તા એપ્રિલ 2004 માં જિયોમેટ્રિક મોડેલિંગ અને રીઅલ અલ્જેબેરિક ભૂમિતિ પરના એમએસઆરઆઈ વર્કશોપમાં એક સાંજે બિઅરની આસપાસ નોંધાઈ હતી. એક સહભાગી, શિચો, સમજી ગયા કે W3=8 એ ક્યુબિક્સ માટે સમજાવ્યું કે તેણે જે પદ્ધતિ વિકસાવી હતી તે હંમેશા કેમ લાગે છે. કામ. આર્ક પરના 8 તર્કને વાસ્તવિક તર્કસંગત ઘન દ્વારા વળાંકની ચાપના આશરે પેરામેટ્રાઇઝેશનની ગણતરી કરવા માટે આ એલ્ગોરિધમ હતું. તે એવી પરિસ્થિતિઓ શોધવાનું રહ્યું કે જે આર્કની નજીકના સમાધાનના અસ્તિત્વની બાંયધરી આપે. આ ફક્ત હમણાં જ ફિલ્ડર-લે ટુઝીએ ઉકેલી હતી, એક એમએસઆરઆઈ પોસ્ટડક જેણે ક્યુબિક્સ (જરૂરી બુદ્ધિગમ્ય નથી) નો અભ્યાસ કર્યો હતો, જેમાં 8 ડિગ્રીના વાસ્તવિક વિમાનના વળાંકને વર્ગીકૃત કરવામાં મદદ કરી હતી.